بررسی کتاب‌های درسی فیزیک و مهندسی نبود یگانگی نظر، در میان نویسندگان، درباره‌ی موضوع برخورد و ضریب بازگشت را حکایت می‌کند. این ناهماهنگی‌ها در میان نویسندگان مجله‌های علمی نیز دیده می‌شود. این سردرگمی را می‌توان پیامد این چند عامل دانست: (۱) روشی که ضریب بازگشت اغلب با آن تعریف می‌شود، (۲) طبیعت بحث‌هایی که درباره‌ی آن می‌شود، (۳) ε برای بیشتر برخوردهای میان جسم‌هایی با اندازه‌ی معمولی کوچک‌تر از واحد است. در اینجا روش‌های از میان برداشتن این دشواری‌ها را بررسی می‌کنیم.

در بخش دوم از این مقاله، شماری از توضیح‌ها و نظرهایی که در کتاب‌های درسی فیزیک یافت می‌شود را با الهام گرفتن از واقعیت‌های تصدیق‌شده در بخش اول، به بحث گذاشته‌ام. آن نشان می‌دهد که آزمونی جدی از مطالب کتاب‌های درسی مورد نیاز است. توضیحی را نیز درباره‌ی نتیجه‌های نادرستی که می‌توانند از توضیحات دقیق به دست آیند خواهم داد.
شست و نه کتاب درسی فیزیک، مکانیک فیزیکی، و مکانیک مهندسی با در نظر داشتن موضوع برخورد و ضریب بازگشت بررسی شد. در این میان، سی عدد از آن‌ها هیچ سخنی از ضریب بازگشت نگفته بودند. برخی از این سی کتاب موردهایی از برخوردهای کاملا کشسان یا کاملا ناکشسان را توضیح می‌دادند. شش عدد از آنها بحث‌هایی را که گمراه‌کننده نبودند ارایه کرده‌اند و نیز شاید بتوان آنها را به عنوان بحث‌های پایه در نظر گرفت، ولی در همه‌ی این کتاب‌ها بخش چشمگیری از داده‌های مقتضی حذف شده بود، به گونه‌ای که خواننده پس از خواندن همه یا بخشی از مطلب با تصویر ناکاملی از موضوع رها گذاشته می‌شد. باید گفت که متن نوشته شده از سوی Poynting و Thomson درست‌ترین و گسترده‌ترین کتاب از میان آنها بود. شوربختانه، این کتاب به‌روز نیست و از این روی پیشرفت‌های تازه‌تر درباره‌ی موضوع برخورد را، که شماری از آنها بسیار باارزش هستند، در بر ندارد. این را نیز باید در نظر داشت که چهار تا از این شش کتاب که می‌توان مناسب بدانیمشان کتاب‌های مکانیکی هستند که برای دانشجویان مهندسی نوشته شده‌اند. در میان سی و سه کتاب دیگر، توصیف ضریب بازگشت به شیوه‌ای نادرست و گمراه‌کننده است و یا به دلیل ناکاملی به شیوه‌ای نامناسب ارایه شده است. در چندین مورد، توضیح‌هایی در میان کتاب‌های پرخواننده‌ی فیزیک یافت شد که با نظرهای داده شده در کتاب‌های دیگر هم‌سطح با آنها در تضاد بودند. چند بندی که در پی می‌آید به بحث‌های درباره‌ی این موضوع می‌پردازد.

۱. بحث‌هایی درباره‌ی ضریب بازگشت 

شماری از نویسندگان، در تشریح ضریب بازگشت ε، آن را ثابتی که تنها به جنس جسم‌های برخوردی وابسته است می‌دانند. مورد دوم نتیجه‌گیری لغزش‌آمیزی است که نیوتون در کتاب اصول خود آن را نگاشته است و شاید اظهارات به طور سر راست از آن برگرفته شده باشد. بیشتر نویسندگان، بی‌آنکه سخنی از تکانه یا سرعت بگویند، به ثابت بودن ε مواد اشاره می‌کنند. به هر روی، شگفت‌انگیز است که اگر ε ثابت باشد نتوان جدول مقدارهای آن را برای جسم‌های آمیخته از چند ماده، یافت؛ در حالی که کتاب‌های دستی فیزیک و مهندسی مکانیک جدول‌های ضریب بازگشت را در بر ندارند.این درست است که مقدارهای ε برای شمار کمی از جسم‌های آمیخته وجود دارد و گهگاه هم در کتاب‌های دستی (به ویژه کتاب‌های مهندسی مکانیک) فهرست شده‌اند، ولی جالب است بدانید که بیشتر این داده‌ها، به طور سرراست یا غیرسرراست، از اصول نیوتون یا جدول‌هایی که برای نخستین بار از سوی Hodgkinson در سال ۱۸۳۵ میلادی و Tait در سال ۱۸۸۸ میلادی منتشر شدند، برگرفته شده‌ است. همچنین باید بدانید که Hodgkinson آگاه بود که ضریب بازگشت، یا همان‌گونه که خودش آن را «کشسانی» نام نهاد، یک ثابت نیست بلکه تابعی از سرعت نسبی جسم‌های برخوردی است. بازگویی این نکته از گزارش او در بخش نخست از این مقاله آورده شده است. همچنین، در بخش نخست، کارهایی بسیار قاطع و پرمایه از Vincent و Roman را به بحث گذاشته‌ام. در شکل ۲ از بخش نخست دست‌آوردهای کار Roman گرد آمده است و وابستگی ضریب بازگشت به سرعت‌های نزدیکی سم‌های برخوردی و از این رو تکانه یشان را اثبات می‌کند.
بیشتر نویسندگان، به طور سربسته، درست ولی نه چندان روشن وابستگی ε به ضریب کشسانی مواد جسم‌های برخوردی را بیان کرده‌اند ولی، به جز چند مورد، وابستگی ε به شکل، اندازه، جرم جسم‌ها و یا چگالی محیط برخورد را نادیده گرفته‌اند. («چکیده و نتیجه‌گیری‌ها»ی بخش نخست را ببینید.) شاید دلیل این نادیده‌انگاری آن باشد که در بیشتر این موردها تنها به برخورد دو گوی در هوا پرداخته شده است. البته باید گفت که در چنین پردازش‌هایی، به طور معمول، سخنی از شکل گفته نمی‌شود. در شمار کمی از متن‌ها، به طور ضمنی، در نمودارها بیان شده است که جسم‌های برخوردی گوی هستند؛ گهگاه هم درباره‌ی محیط پیرامون سخنی گفته شده است.
در شماری از متن‌ها، ε صرفا به عنوان «منفی نسبت سرعت نسبی جسم‌های برخودی پس از برخورد به سرعت نسبی آنها پیش از برخورد» تعریف شده است، و بیانی مانند

همراه با آن داده شده است. بیشتر آنها توضیح داده‌اند که v1 سرعت جسم اول و v2 سرعت جسم دوم پیش از برخورد است و u1 و u2 سرعت جسم‌ها پس از برخورد. از آنجا که سرعت کمیتی برداری است، بیان خارج قسمت سمت راست معادله‌ی (۱) روشن نیست. البته نویسندگان به طور ضمنی این را که منظورشان بزرگی این سرعت‌ها است بیان کرده‌اند، ولی باز هم چنانچه قیدگذاری‌هایی را که در پی می‌آید اعمال نکنیم کارشان تهی از اشکال نخواهد بود. از سوی چند تن از نویسندگان، ضریب بازگشت به همان روش، ولی با این تفاوت که بحث را تنها برای گوی‌ها درست دانسته‌اند، تعریف شده است.
هنوز از یک گوشه‌ی مهم دست‌آوردهای نابه‌سامان این تعریف‌ها سخنی به میان نیاورده‌ایم. هر دوی آنها می‌توانند برای روشن‌سازی برخی از دست‌آوردهای لغزش‌آمیزی که شاید دامن‌گیر شخص ناآشنا با کاربرد درست رابطه‌ی (۱) شود، به کار روند، و آن در اینجا انجام شده است. پیش از ترک بحث تعریف ε باید خاطرنشان کرد که هرچند بیشتر نویسندگان گزاره‌ی «سرعت» را به جای «سرعت عمودی» به کار می‌برند ولی از آنجا که تنها برخوردهای رودررو میان دو گوی را در نظر دارند، تعریفشان درست است؛ ولی ناسازگاری در این است که پس از پایان دادن به رابطه‌ی دو گوی آن را بی هیچ بحث دیگری به برخورد میان جسم‌هایی با هر شکل دلخواه تعمیم می‌دهند. به‌کارگیری گزاره‌ی «سرعت عموی» قید برخورد رودررو را حذف کرده و همچنین تعریف ε به خوبی با رابطه‌ی (۱) برای هر جسمی با هر شکل دلخواه قابل به‌کارگیری خواهد بود.

۲.  یک استلزام جالب 

بگذارید بیانگاریم که هر دو تعریف ضریب بازگشت که در آغاز بند پیشین توضیح دادیم به‌راستی پذیرفته هستند. اکنون دو گوی صیقلی با جرم‌های m۱ و m۲ را که در شکل ۱ نشان داده شده‌اند، در نظر بگیرید. جرم m۱ در طول محور x-ها با سرعت v در حال حرکت است و جرم m۲ در آغاز، نسبت به ناظر، ساکن است. فرض آن است که مرکز m۲ در استوانه‌ای به شعاع r۱+r۲ (به جز محور استوانه) که توسط گوی m۱ جاروب می‌شود، ایستاده است. چنین چینشی رخداد یک برخورد اریب را بیمه می‌کند. جهت حرکت گوی‌ها پس از برخورد همان است که در شکل ۲ می‌بینید. بردارهای v، u1، u2 را به درایه‌های x و y بخش‌بخش و در معادله‌ی (۱) جایگذاری کنید. برای درایه‌های محور x-ها داریم

و برای درایه‌های محور y-ها

شکل 1 - دو گوی درست پیش از برخورد 

شکل 2 - دو گوی درست پس از برخورد 

از بیان دوم، یک جواب باطلی را برای مساله به دست می‌دهد که با توجه به آن ضریب بازگشت بی‌نهایت می‌شود. بیان اول هم نتیجه‌ای ناسازگار را به دست می‌دهد و هر چند در نخستین نگاه روشن نیست ولی یک همچنان نادرست است. خواننده اینک با تعریف درست ضریب بازگشت میان جسم‌هایی در برخوردی فراتر از نوع معمول آشناست و به لغزش در نمونه‌ی بالا پی برده است. برای گوی‌های صیقلی هیچ انتقال تکانه‌ی خطی موازی با سطح مماسی نمی‌تواند وجود داشته باشد؛ تنها در امتداد عمودی بر این سطح تغییر تکانه‌ای برای هر یک از دو گوی می‌تواند وجود داشته باشد.

۳. مقدارهای عددی ضریب

شمار بسیاری از نویسندگان کتاب‌های درسی دامنه‌ی مقدارهای عددی ضریب بازگشت را از صفر تا واحد می‌دانند ولی بیشتر آنان در اشاره به اینکه یکی یا هر دوی این کران‌ها همیشه در عمل رخ می‌دهد، کوتاهی کرده‌اند.
یک نمونه‌ی بسیار خوب برای نشان دادن ε=۰ برخورد یک گلوله با یک قطعه چوب، به شرط آنکه گلوله در چوب بماند، است؛ این نمونه چنان گویا است که نیازی به روشن‌سازی ندارد. برای کران دیگر به بررسی بیشتری نیاز داریم. در واقع این تنها نکته‌ای است که برخی از نویسندگان پیشرو با تندی با آن  ناهم‌رای هستند. شماری از آنان به هرگز رخ ندادن ε=۱ در طبیعت نظر می‌دهند. اگر چنین نظری درست بود خیلی پیش‌تر از این همه‌ی جنبش‌های مولکولی باز می‌ایستادند. شاید نظر آنان مقیاس معمولی باشد؛ در هر روی، برخی از آزمایش‌های ساده که به‌تازگی انجام شده است نشان می‌دهند که چنانچه یک بهسازی برای سایش ناشی از هوا و رشته‌های آویزش اعمال شود، شاید ε حتی در بزرگ‌مقیاس هم برابر با واحد شود. در هر روی، کار Raman نشان می‌دهد که اگر سرعت جسم‌های برخوردی به صفر بگراید ε به واحد خواهد گرایید.
بیشتر نویسندگان برای روشن ساختن دلیل واحد نشدن ضریب بازگشت برای برخورد میان جسم‌هایی در اندازه‌ی معمولی و با تماس معمولی،

{شاید بپرسید که «تماس فیزیکی» یا «تماس معمولی» به چه معناست. برای هدف کنونی ما «تماس معمولی» زمانی رخ می‌دهد که ناظر (که آن را در اندازه‌ی معمولی در نظر می‌گیریم) تماس دو جسم را ببیند یا بشنود.}

 چنین می‌گویند که انرژی مکانیکی حرکت انتقالی در هنگام برخورد به صورت صدا و لرزش و از این روی در پایان به صورت گرما هدر می‌رود. Reyleigh نشان داد که در مورد گوی‌های همسان، در مقیاس معمولی، انرژی به صورت حرکت انتقالی پایه باقی می‌ماند. در کار Saint-Venant بر روی میله‌های برخوردی نشان داده شد که در موردهای بررسی شده یک سایش چشمگیر انرژی مبدا صورت لرزش را به خود می‌گیرد. از این روی، خواه‌ناخواه درستی تعریف به شکل جسم‌های برخوردی وابسته است. شمار کمی از نویسندگان، به دستی، چنین می‌گویند که مقداری انرژی، همان‌گونه که صرف لرزش و صدا می‌شود، صرف تغییر شکل مومسانِ مواد جامد هم خواهد شد ولی آنان مهم بودن یا نبودن این هدرروی را روشن نکرده‌اند.
بررسی مقدارهای عددی ε را نمی‌توان بدون سخنی از دسته‌بندی برخوردها که در مقاله‌ای از Bacon آمده است، پایان‌یافته دانست. او افزون بر گونه‌های معمولی برخوردها بر روی یک دسته‌ی متفاوت هم بحث کرده است مانند «آنچه از آتش یک تفنگ» یا «آنچه از انفجار پرتوزایی یک اتم» به دست می‌آید. این‌ها را برخوردهای ناکشسان نوع دوم می‌نامیم. برای آن‌ها ε>۱ است. برخوردهایی را که در آنها ε<۱ است برخوردهای ناکشسان نوع اول می‌نامیم. اینک با در نظر گرفتن برخوردهای کشسان از  هر دو نوع مانند برخوردهای ناکشسان، مقدار ε  را می‌توان از صفر تا بی‌نهایت دانست.

۴. فرجام

از چشم‌انداز واقعیت‌های وابسته به برخوردهای آزمایشگاهی که در بخش نخست از این مقاله هم جمع‌بندی شدند و نیز بررسی‌های ناهماهنگی که در بیشتر متن‌های مرتبط با این موضوع یافت می‌شود،  نیازی فوری به بررسی دوباره‌ی موضوع از سوی آموزگاران و مدرسان حس می‌شود تا در پی آن بحث‌های مرتبطش در کتاب‌های درسی بازبینی و بازسنجی شوند.