مقاله های فیزیک خورشیدوش

1388 – نگارش (تالیف)

منبع:
حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه ی تحلیلی (جلد اول)؛ ریچارد . ا. سیلورمن؛ ترجمه: علی اکبر عالم زاده

دریافت این مقاله در قالب «پی دی اف»:
مفهوم-مشتق-و-انتگرال.pdf (پرحجم اما قابل جستجو و رونوشت برداری)
مفهوم-مشتق-و-انتگرال.pdf (کم حجم اما تنها برای چاپ)

فهرست:

۱) درآمد
۲) مشتق
2-1) تعریف مشتق
2-2) هسته ی مشتق
2-3) نمادگذاری های مشتق
2-4) تعبیر فیزیکی مشتق
۳) انتگرال
3-1) رابطه ی مشتق و انتگرال
3-2) نتیجه ی مبحث انتگرال
4) چکیده و فرجام

1) درآمد

مشتق و انتگرال دو ابزار اساسی برای علوم پایه، به ویژه فیزیک، و علوم مهندسی به شمار می آیند. در بررسی و به کار بستن این دو ابزار، با دو شاخه ی متفاوت سروکار داریم: (1) درک مفهوم مشتق و انتگرال، و (2) روش های مشتق گیری و انتگرال گیری؛ و مقصود من از نگاشتن این نوشتار دست یافتن به درکی بنیادین از موضوع است.

در این نوشتار هر جا که لازم بوده است به جای بحث کلی، مثال ها را در نظر گرفتم. همچنین در برخی از بخش ها دقیق عمل نکرده ام تا به سادگی مطلب آسیبی نرسد.

2) مشتق

برای بررسی مشتق، موضوع را از تعریف آن آغاز می کنیم. توجه کنید که این گزینش از آن روی انجام شد که مشتق را به عنوان موجودی مستقل بپذیریم و نه نتیجه ای از یک تجربه! حتی اگر این بیان دقیق نباشد در هدفی که دنبال می کنیم خللی وارد نمی‌کند.

2 – 1) تعریف مشتق

تعریف مشتق عبارت است از

(1)

که در آن از ابزار حد استفاده شده است. تک تک اجزای این رابطه را معرفی می کنیم.

(آ) f: تابعی است که دارای خروجی هایی مجاز است؛

(ب) x: متغیر مستقلی است که تابع f به ازای هر مقداری از آن، خروجی های مجاز نامبرده در بند (آ) را ارائه می دهد؛

(پ) Δx: مقدار تغییرات (دگرگونی های) متغیر مستقل نسبت به x اولیه؛

(ت) f(x): مقدار تابع f در x؛

(ج) f(x+ Δx): مقدار تابع f در x+ Δx؛

(چ) f’(x): مشتق تابع f در نقطه ی x.

2 – 2) هسته ی مشتق

در نخستین گام، عبارت

(2)

را تحلیل می کنیم. در این نوشتار، این عبارت را با نام «هسته ی مشتق» می شناسیم و می توان آن را به صورت

(3)

هم نوشت. در رابطه ی (3)، u=x+Δx و در نتیجه u-x=Δx است. همان طور که می بینید، هسته ی مشتق از «کسر تغییرات تابع f نسبت به تغییرات متغیر مستقل x» تشکیل یافته است.

جعبه ای خالی را در نظر بگیرید که بر روی یک ترازو قرار دارد. ترازو وزن این جعبه را نشان می دهد. فرض کنید که تعداد زیادی سیب در اختیار شما قرار داده شده است و از شما خواسته اند که این سیب ها را در جعبه قرار دهید و شخص دیگری هم زمان وزنی که ترازو نشان می دهد هر 2 ثانیه یک بار ثبت کند و جدولی همانند جدول (1) را تهیه کند. انتخاب بازه ی 2 ثانیه ای به دلخواه انجام شده است؛ حتی می توان بازه ها را نامساوی برگزید.

	a	b	c	d	e	f	g	h	i
وزن	10	11	12	13	13	13	14	16	17
زمان	0	2	4	6	8	10	12	14	16

جدول (1)

در این نمونه، زمان را x (متغیر مستقل) در نظر بگیرید، و وزنی که جعبه نشان می دهد تابعی است که با گذر زمان تغییر می کند: (f(x. حال اگر کسر دگرگونی های وزن جعبه نسبت به زمان را برای بازه های زمانی [a,b]،[b,c]،[c,d]،[d,e]، [e,f]،[f,g]،[g,h]،[h,i]، و [a,i] بنویسیم خواهیم داشت:

(4)

در عملیات آخر، دگرگونی متغیر مستقل x در بازه ی کلی فرایند در نظر گرفته شده است. همان طور که می بینید، مقدار 0٫5 در بیشتر کسرها حاکم است؛ پس دور از ذهن نیست که مقدار 0٫4375 به دست آمده برای بازه ی کلی به این مقدار 0٫5 نزدیک باشد. در این نمونه، «تغییرات وزن نسبت به تغییرات زمان بیانگر مشتق تابع وزن نسبت به زمان است».

حدگیری مطرح شده در رابطه ی (1) موجب می شود که در خروجی های مشتق نوعی «دقت» لحاظ شود، که البته این اعمال دقت بخشی از تعریف خود مشتق است! در واقع، چون مشتق تابع در Δx های کوچک تر برای ما مهم تر هستند این حد را اعمال می کنیم و میانگین ها، مانند 0٫4375 در این مثال، از اهمیت کمتری برخوردارند. برای نمونه، در این مثال، «میانگین بازه ی کلی» اقتضا می کند که در بازه ی 6=x تا 10=x، مقدار مشتق وزن تقریبا برابر با 0٫4375 باشد اما در اندازه گیری های دقیق تر 2 ثانیه ای مقدار دقیق تر صفر برای مشتق وزن در این بازه به دست آمده است.

با بررسی این مثال به این نکته دست می یابیم که «مشتق، در واقع، شدت تغییرات را بیان می کند؛ هر چه تغییرات تابع نسبت به دگرگونی های متغیر مستقلش بیشتر باشد، مشتقش بزرگ تر است». این شدت تغییرات می تواند شدت خروج گاز از یک محفظه، شدت تغییرات وزن (نمونه ای که هم اکنون آن را بررسی کردیم)، سرعت (شدت تغییرات مکان)، و … باشد.

2 – 3) نمادگذاری های مشتق

مشتق را با این سه نماد نشان می دهیم:

ẋ

(5)

که البته ‘f مرسوم تر و df/dx ساده تر و منعطف تر است. df/dx را می توان از طرف راست معادله ی (1)، با این فرض که d فشرده شده ی Δ است و Δf=f(x+ Δx)-f(x)، به دست آورد. عمل حدگیری، فشرده شدن Δ را تضمین می کند.

2 – 4) تعبیر فیزیکی مشتق

موضوعی که گهگاه در فهم مشتق ایجاد ابهام می کند «تعبیر فیزیکی» مشتق تابع مورد نظر است. تابع مکان جسم را در نظر بگیرید؛ شاید از خود پرسیده باشید که چرا «مشتق مکان نسبت به زمان» را به «سرعت» تعبیر می کنیم و این تعبیر فیزیکی از کجا ناشی می شود. در پاسخ می توان گفت که تعریف فیزیکی سرعت به گونه ای است که هم ارز «مشتق مکان نسبت به زمان» است. این «سرعت» است که با شدت تغییرات مکان متناسب است و همان طور که گفته شد مشتق هم شدت تغییرات هر کمیتی است. بیان ریاضیاتی این توضیح، رابطه ی مشهور سرعت جسم است:

(6)

که در آن dx/dt شدت تغییرات مکان (در گذر زمان) است – مشتق مکان نسبت به زمان.

نمونه ی دیگر، شتاب جسم است که تعریف آن به گونه ای است که از مشتق سرعت حاصل می شود. شتاب جسم هم ارز با شدت تغییرات سرعت جسم (در گذر زمان) است – مشتق سرعت نسبت به زمان یا a=dv/dt؛ از آنجا که خود سرعت از مشتق مکان نسبت به زمان به دست آمده است شتاب را مشتق دوم مکان نسبت به زمان می نامیم.

3) انتگرال

موضوع انتگرال را از مبحث مشتق شروع می کنیم. رابطه ی (1) را به یاد بیاورید:

در این بخش هم تمرکز خود را بر روی هسته ی مشتق قرار می دهیم، یعنی

(7)

برای درک بهتر موضوع، به دلیل آن که خواننده با مکان جسم (x) و سرعتش (v) به خوبی آشناست، از رابطه ی زیر به جای رابطه ی (7) استفاده می کنیم.

(8)

دقت کنید که شباهت ظاهری Δx در صورت (8) با Δx در مخرج (7) شما را به اشتباه نیاندازد. در واقع، x در صورت (8) مفهوم x=x(t) را دارد که هم ارز f=f(x) در صورت کسر (7) است.

در این مرحله، باز هم برای ساده تر شدن موضوع، حالتی را در نظر می گیریم که سرعت ثابت باشد (v=const). رابطه ی (8) را به این صورت بازنویسی می کنیم:

(9)

به ازای بازه های زمانی مختلف می توان چنین جدول و نموداری را ترتیب داد.

Δt=t-to است و

با فرض 0=t_o Δx02v4v6v8v10v12v14v16v18v20vΔt02468101214161820

جدول (2)

در مرحله ی دوم فرض می کنیم که v در رابطه ی (9) از 0 تا 10 ثانیه مقدار v، از 10 تا 16 ثانیه مقدار 2v و از 16 تا 20 ثانیه مقدار 3v داشته باشد. در این صورت

Δt=t-to است و

با فرض 0=t_o Δx02v4v6v8v10v+10v

2v×2+10v

2v×4+10v

2v×6+10v

+2v×6

3v×2+10v

+2v×6

3v×4Δt02468101214161820

جدول (3)

از بررسی این دو جفت جدول و نمودار به دو نکته ی اساسی دست می یابیم:

(1) از حاصل ضرب هر بازه ی زمانی در سرعت مربوطه اش جابه جایی در آن بازه ی زمانی به دست می آید: vΔt=Δx، به گونه ای که اگر در یک بازه ی زمانی به اندازه ی کافی بزرگ، سرعت ثابت نباشد، Δx کل برابر است با «مجموع حاصل ضرب Δtها در v ی مربوط به هر کدام که v در هر یک از آنها ثابت است»، یعنی

(10)

این گزاره را هسته ی انتگرال می نامیم؛ آن را با هسته ی مشتق مقایسه کنید.

(2) با مقایسه ی هر نمودار با جدول مربوطه اش در می یابیم که vΔt ها، و در نتیجه Δx ها، هم ارز با مساحت زیر منحنی v هستند. این گزاره همان تصوری است که بسیاری از ما تا مدت ها از «ذات انتگرال» در ذهن خود داریم، در حالی که این گزاره تنها یک برداشت ظاهری از انتگرال است.

اینک به مرحله ای رسیده ایم که بتوانیم Δx مربوط به یک نمودار بی هنجار، مانند این نمودار، را بیابیم.

درست است که v تقریبا در هیچ زمانی مقدار ثابتی ندارد ولی اگر بتوان بازه های Δt را بسیار کوچک کرد، به این مقصود می رسیم. اینجاست که لزوم به کارگیری مفهوم حد در تعریف انتگرال آشکار می شود.

یا

(11)

چون Δt ها بسیار کوچک هستند می توان همه را یک اندازه و برابر با مقدار dt در نظر گرفت که در آن d را Δ ی بسیار کوچک در نظر می گیریم و نام دیفرانسیل را بر آن می گذاریم. زیرنویس i را از v برمی داریم با این شرط که مطمئن باشیم می توانیم هر v را به dt مربوطه اش ارتباط می دهیم. با این توضیح رابطه ی 11 به این صورت بازنویسی می شود.

(12)

که در آن نماد ∫ را به جای ∑ به کار برده ایم و معنایشان تقریبا یکسان است. به جای Δx_T نمادهای S، A، و یا X هم به کار می رود. رابطه ی (12) را برای مورد خاص سرعت و تغییر مکان به دست آوردیم و می توان رابطه ی کلی را اینگونه نوشت:

(13)

که در آن F(x) مشتق تابع f(x) است.

3 – 1) رابطه ی مشتق و انتگرال

نخستین نتیجه ای که از مقایسه ی رابطه ی (12) و v=dx/dt می گیریم این جمله ی معروف است: «انتگرال معکوس مشتق است».

: x=∫v dt و v=dx/dt

«با مشتق گرفتن از x به v می رسیم و با انتگرال گرفتن از v به x می رسیم»، یعنی

3 – 2) نتیجه ی مبحث انتگرال

نتیجه ی بحث این که انتگرال یعنی «مجموع حاصل ضرب همه ی مقادیر موردنظر تابع در بازه ی کوچکی از دگرگونی های متغیر مستقل مربوط به هر مقدار تابع، به شرط آن که مقدار تابع در بازه ی مربوطه اش ثابت باشد».

درباره ی «تعبیر فیزیکی» انتگرال هر تابع به استدلال مطرح شده برای تعبیر فیزیکی مشتق مراجعه کنید.

محاسبه ی انتگرال «تغییرات وزن جعبه نسبت به تغییر زمان» که از نمونه ی اول به دست آمد آموزنده است. تنها مورد اول و آخر را بررسی می کنیم:

(14)

کسر Δf/Δx هسته ی مشتق است و می توان آن را تقریبا برابر با خود مشتق در نظر گرفت؛ در نتیجه

که در آن 2=dx≈Δx است.

که در آن 16=dx≈Δx است.

با توجه به رابطه ی (13)، A=∫F(x)dx، یا هم ارز تقریبی آن، A=∑F_i(Δx)_i، داریم

(تغییر وزن جعبه در مدت 2 ثانیه ی ab)

(تغییر وزن جعبه در مدت 16 ثانیه ی کل)

که با مقدار Δf های رابطه های (14) هم خوانی دارد و باید می داشت! A_ai را می توانستیم با جمع کردن حاصل ضرب همه ی بازه های 2 ثانیه ای هم به دست آوریم – رابطه ی (10):

4) چکیده و فرجام

مشتق، شدت تغییرات را بیان می کند؛ هر چه تغییرات تابع نسبت به دگرگونی های متغیر مستقلش بیشتر باشد، مشتقش بزرگ تر است. «تعبیر فیزیکی» مشتق، F(x)، هر تابع از تعریف فیزیکی آن F(x) ناشی می شود؛ برای نمونه «سرعت» با شدت تغییرات مکان متناسب است و چون «مشتق شدت تغییرات هر کمیتی است» پس مشتق مکان نسبت به زمان بیانگر سرعت خواهد بود.

انتگرال یعنی مجموع حاصل ضرب همه ی مقادیر موردنظر تابع در بازه ی کوچکی از دگرگونی های متغیر مستقل مربوط به هر مقدار تابع، به شرط آن که مقدار تابع در بازه ی مربوطه اش ثابت باشد. انتگرال هر تابع F(x) هم ارز با مساحت زیر منحنی F-x ی آن تابع است. این گزاره همان تصوری است که بسیاری از ما تا مدت ها از «ذات انتگرال» در ذهن خود داریم، در حالی که تنها یک برداشت ظاهری از انتگرال است.

انتگرال معکوس مشتق است. برای نمونه، با مشتق گرفتن از x به v می رسیم و با انتگرال گرفتن از v به x. تعبیر فیزیکی انتگرال هر تابع با استدلال مطرح شده برای تعبیر فیزیکی مشتق توصیف می شود.

—————————————

چند مقاله ی دیگر